Division de polynômes

Division de polynômes

Algèbre

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  • Multiplication de polynômes
  • Division de polynômes

Il existe deux techniques que vous pouvez utiliser pour calculer le quotient de deux polynômes, l'une (qui peut sembler un peu familière) fonctionnera pour tous les problèmes de division polynomiale mais prend un certain temps, tandis que l'autre fonctionnera beaucoup plus rapidement, mais ne fonctionnera que dans des circonstances spécifiques .



Division longue

Le moyen le plus fiable de diviser des polynômes est le processus de division longue ; même si le processus est un peu lourd, il fonctionne pour tous les problèmes de division que vous rencontrerez. Il reproduit en fait la technique que vous avez apprise à l'école primaire pour diviser des nombres entiers, au cas où vous vous demanderiez pourquoi cela vous semble familier.

Exemple 5 : Calculez le quotient de ( X 3+ 5 X 2- 3 X + 4) ( X 2+1).

Solution : Commencer par réécrire le problème en notation de division longue ; les diviseur (ce par quoi vous divisez) va vers la gauche, et le dividende (en quoi vous divisez) est écrit sous le symbole. Pendant que vous écrivez les polynômes, assurez-vous qu'il n'y a pas d'exposants manquants dans le diviseur ou le dividende.

Dans ce problème, le diviseur n'a pas X terme; vous ne voulez pas qu'il manque, vous devriez donc l'écrire avec un coefficient de 0. (Si vous ne le faites pas, les choses ne s'aligneront pas correctement.)

Regardez le premier terme du diviseur, X 2, et le premier terme du dividende, X 3. Demandez-vous : « Quelles heures X 2me donnera exactement x 3?' La réponse est X , et vous devez écrire cette réponse au-dessus du symbole de division. En fait, vous devriez l'écrire directement au-dessus de -3 X , puisqu'il et le numéro que vous venez de trouver ( X ) sont des termes similaires.

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Multipliez cela X et le diviseur ensemble, et écrivez le résultat en dessous du dividende, de sorte que les termes similaires s'alignent ; tracez une ligne horizontale sous le produit.

Comment as-tu fait ça ?

La raison pour laquelle vous vous demandez 'Quelles fois X 2me donnera exactement x 3?' est de sorte qu'une fois la réponse écrite, multipliée par le diviseur et multipliée par -1, vous obtenez l'exact opposé du premier terme du dividende. De cette façon, lorsque vous combinez des termes, vous obtiendrez X 3- X 3, qui est égal à 0, éliminant un terme.

Maintenant, multipliez tout ce qui se trouve dans cette ligne de fond par -1, puis combinez le résultat avec les termes similaires directement ci-dessus. Écrivez le résultat sous la ligne horizontale.

Déroulez le terme suivant dans le polynôme de dividende, dans ce cas un 4 positif, et répétez le processus ci-dessus, en commençant par la question « Quelles heures X 2(le premier terme du diviseur) me donnera exactement 5 X 2(le premier terme du problème de soustraction que vous venez de terminer) ; la réponse est 5. Écrivez cette constante au-dessus du symbole de division (juste au-dessus de 4, son terme similaire), multipliez-la par le diviseur, changez chacun des termes du produit en son opposé et combinez les termes similaires.

S'il y avait eu des termes supplémentaires dans le dividende, vous les baisseriez un à la fois et répéteriez tout le processus à nouveau, mais comme il n'y a plus de termes à supprimer, vous avez terminé. Le quotient est la quantité au-dessus du symbole de division, X + 5, et le reste est -4 X - 1.

Vous devez écrire votre réponse sous la forme du quotient plus la fraction dont le numérateur est le reste et dont le dénominateur est le diviseur d'origine, comme ceci :

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  • X + 5 +-4 X - 1 X 2+1

Vous pouvez vérifier votre réponse en multipliant le quotient ( X + 5) fois le diviseur d'origine ( X 2+ 1) puis en ajoutant le reste.

  • (quotient)(diviseur)+(reste)
  • = ( X +5) ( X 2+1) + (- 4 X -1)
  • = X 3+ X + 5 X 2+ 5 - 4 X -1
  • = X 3+5 X 2+ X - 4 X + 5 - 1
  • = X 3+5 X 2-3 X +4

Si vous avez tout fait correctement, vous devriez obtenir le dividende initial ; c'est exactement ce qui s'est passé ici, vous pouvez donc vous prélasser dans la lueur de votre propre grandeur mathématique, en sachant que vous gouvernez.

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Vous avez des problèmes

Problème 5 : Calculer le quotient de ( X 2- 7 X + 8) ( X + 4).

Division Synthétique

Si vous essayez de diviser un polynôme par un binôme linéaire (sous la forme ' X - c ' où c pourrait être n'importe quel nombre réel), alors la meilleure façon de le faire est la division synthétique.

Par exemple, le problème de division ( X 3- 2 X 2+ 3 - 4) ( X + 3) serait un bon candidat pour la division synthétique ; le diviseur est techniquement sous la forme X - c , car si vous définissez c = -3, alors X - c = x - (-3) = X + 3. Cependant, le problème ( X 3- 2 X 2+ 3 X - 4) ( X 2+ 3) ne serait pas un bon candidat, puisque le diviseur n'est pas linéaire.

Division synthétique est beaucoup plus simple que la division longue car tout ce que vous utilisez sont les coefficients des polynômes. Je ne sais pas pourquoi on l'appelle division 'synthétique', ce n'est pas contre nature, rempli de conservateurs ou faux. Cela n'a jamais été au chirurgien plasticien d'obtenir un pincement, une plastie, un implant ou une réduction, alors le nom me laisse perplexe. Comme la division longue, la meilleure façon d'apprendre le processus est à travers un exemple, donc je vais y aller directement.

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Division synthétique est une technique de raccourci pour calculer les quotients polynomiaux qui n'est applicable que lorsque le diviseur est de la forme X - c , où c est un nombre réel.

Exemple 6 : Calculer le quotient de (2 X 3- X + 4) ( X + 3).

Solution : Vérifiez d'abord s'il manque des pouvoirs de X dans le dividende ; remarquez qu'il n'y a pas X 2puissance là-dedans, alors insérez-le avec un coefficient de 0 (comme vous l'avez fait dans la division longue) pour obtenir un dividende de 2 X 3+ 0 X 2- X + 4. Énumérez maintenant ces coefficients dans l'ordre décroissant de leurs exposants.

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À gauche de cette liste, écrivez le opposé de la constante dans le diviseur. Dans ce problème, le diviseur est X + 3, donc l'opposé de sa constante sera -3. Il est séparé du reste des coefficients par quelque chose qui ressemble à une demi-boîte. Laissez de l'espace sous cette rangée et tracez une ligne horizontale.

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La configuration est terminée et il est temps de commencer. Prenez le coefficient dominant (2) et déposez-le sous la ligne horizontale.

Point critique

Même si la division synthétique ne peut être appliquée que dans une situation spécifique (étant donné un diviseur linéaire de la forme X - c ), il sera extrêmement utile plus tard. Donc, même s'il s'agit essentiellement d'un raccourci vers une longue division, cela vaut vraiment la peine d'être appris.

Multipliez le nombre dans la demi-boîte (-3) par le nombre sous la ligne (2) et écrivez le résultat (-6) sous le prochain coefficient (0).

Combinez les nombres de la deuxième colonne (0 - 6 = -6) et écrivez le résultat directement sous les nombres que vous venez de combiner.

Répétez le processus deux fois de plus, en multipliant à chaque fois le nombre dans la case par le nouveau nombre sous la ligne, en écrivant le résultat dans la colonne suivante, en additionnant les nombres de cette colonne et en écrivant à nouveau le résultat sous la ligne.

Vous avez des problèmes

Problème 6 : Calculer le quotient de (4 X 3- 2 X 2- dix X + 1) ( X - 2).

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La réponse sera chacun des nombres sous la ligne avec des puissances décroissantes de X à côté d'eux; commencer par le X puissance un de moins que le degré du dividende. Par conséquent, la première puissance de X dans votre réponse à ce problème devrait être 2. Au cas où vous vous poseriez la question, le nombre le plus à droite en dessous de la ligne est le reste, qui est écrit comme s'il était en division longue.

  • 2 X 2- 6 X + 17 +-47 X + 3

Vous pouvez vérifier cela de la même manière que vous avez fait une division longue : (2 X 2- 6 X + 17) ( X + 3) - 47 doit être égal à 2 X 3- X + 4, et c'est le cas.

CIG Algèbre

Extrait de The Complete Idiot's Guide to Algebra 2004 par W. Michael Kelley. Tous droits réservés, y compris le droit de reproduction en tout ou en partie sous quelque forme que ce soit. Utilisé en accord avec Livres Alpha , membre de Penguin Group (USA) Inc.

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